Vol.6, Special Issue, 2007 pp. 71-98
UDC 531.3(045)=111
PHASE PLANE METHOD APPLIED TO OPTIMAL CONTROL
IN NONLINEAR DYNAMICAL SYSTEMS WITH TROGGER OF COUPLED SINGULARITIES
Katica R. (Stevanović) Hedrih
Faculty od Mechanical Engineering University of Niš, Mathematical Institute SANU Belgrade,
18 000 - Niš, ul. Vojvode Tankosića 3/22, Serbia, Telefax: 381 18 42 41 663 / Mobile 063 8 75 75 99
e-mail: katica@masfak.ni.ac.rs * e-mail(home): khedrih@eunet.rs 
Abstract. Short Main idea of the phase plane method applied to the optimal control in nonlinear dynamical systems with triggers of a coupled singularities, and with one degree of freedom, is reconsidered. Paper presents a short review of the author's previous published results containing series of the special cases of the optimal control in nonlinear dynamical systems with trigger of coupled singularities important for engineering applications.
This paper analyses the controllability of motion of conservative or nonconservative nonlinear dynamical systems in which triggers of coupled singularities exist or appear. It is shown that the phase plane method is useful for the analysis of nonlinear dynamics of conservative and nonconservative systems with one degree of freedom of control strategies and also shows the way it can be used for controlling the relative motion in rheonomic systems having equivalent scleronomic conservative or nonconservative system.
For the system with one generalized coordinate described by nonlinear differential equation of nonlinear dynamics with triggers of coupled singularities, the functions of system potential energy and conservative force must satisfy some conditions defined by a Theorem on the existence of a trigger of coupled singularities and the separatrix in the form of number eight. Task of the defined dynamical conservative system optimal control is: by using controlling force acting to the system, transfer initial state of the nonlinear dynamics of the system into the final terminate state of the nonlinear dynamics in the minimal time for that optimal control task.
Some research results of fascinating nonlinear dynamics of a heavy material particle along circles with coupled rotations with many different properties of nonlinear dynamics and optimal control of this dynamics are presented. A visualizations of nonlinear dynamical processes in such rheonomic systems were made.
Key words: phase plane method, optimal control, nonlinear dynamics, conservative system, nonconservative system, phase plane portrait, triggers of coupled singularities, theorem, coupled rotation, material particle, homoclinic points, homoclinic orbit, bifurcation, separatrice layering, separatrice in the form of number eight
METODA FAZNE RAVNI U PRIMENI NA OPTIMALNO UPRAVLJANJE U
NELINEARNIM DINAMIČKIM SISTEMIMA SA TRIGEROM SPREGNUTIH SINGULARITETA
Glavna ideja metode fazne ravni u primeni na optimalno upravljanje u nelinearnim dinamičkim sistemima sa trigerom spregnutih singulariteta i sa jednim stepenom slobode kretanja je ponovo razmotrena. Članak sadrži objedinjen pregled autorovih ranije publikovanih rezultata serije specijalnih slučajeva optimalnog upravljanja u nelinearnim dinamičkim sistemima sa trigerom spregnutih singulariteta koji su značajni za inženjerske primene.
U radu se analizira upravljivost kretanjem konzervativnih, kao i nekonzervativnih nelinearnih dinamičkih sistema sa trigerim singulariteta u odgovarajućoj faznoj ravni. Pokazano je da je metoda fazne ravni upotrebljiva i prigodna za analizu upravljačkih strategija nelinearne dinamike i konzervativnih i nekonzervativnih sistema sa jednim stepenom slobode kretanja i sa trigerom spregnutih singulariteta, a takođe i kao put za upravljanje relativnim kretanjem u reonomnim sistemima koji imaju ekvivalentni scleronomni conzervativni ili nekonzervativni szstem.
Za sistem, koji je opisam sa jednom generalisanom koordinatom i nelinearnom diferencijalnom jednačinom sa trigerom spregnutih singulariteta fnkcija potencijalne energije i konzervativne sile moraju zadovoljavati određene uslove definisane teoremom o postojanju trigera spregnutih singulariteta i separatrise u obliku broja osam. Zadatak definisanog optimalnog upravljanja konzervativnim sistemom je sledeći: koristeći destvo sile upravljanja na nelinearni sistem, isti prevesti iz posmatranog stanja nelinearne dinamike u definisano stanje nelinearne dinamike kroz protek minimalnog vremena, kao kriterijum optimalnog upravljanja.
Neki istraživački rezultati "čudesne" nelinearne dinamike teške materijalne tačke duž krugova sa spregnutim rotacijama sa više različitih svojstava nelinearne dinamike kao i optimalno upravljanje tim dinamikama su takođe prikazani. Vizuelizacija nelinearnih dinamičkih procesa u takvim reonomnim sistemima su predstavljene.
Ključne reči: Metoda fazne ravni, optimalno upravljanje,nelinearna dinamika, konzervativni sistem, nekonzervativni system, fazni portret u ravni, trigger spregnutih singulariteta, teorema o trigeru spregnutih singulariteta, spregnute rotacije, teška materijalna tačka, homoklinička tačka, homoklinička orbita, bifurkacija, raslojavanje orbite, separatrisa u obliku broja osam